07 IIR实验

Infinite Impulse Response 无限冲激响应

up的视频讲解: https://space.bilibili.com/1455872040

up视频里的实验代码: 👣IIR实验代码

1 🌼 IIR 简介

1 把上次的结果也用起来

FIR用过去的输入做加权求和。这一节我们再加一个思路：把上次已经算好的输出也用进来。

最简单的一阶平滑就是：

y[n] = α × x[n] + (1−α) × y[n−1]，0 < α ≤ 1

α越小，当前输入所占的比例越小，曲线更平滑，但响应也更慢。输入一个1之后再持续输入0，过去的输出还会一次次影响下一次输出，理论上会无限延续，因此叫无限冲激响应。

static float last_y = 0.0f;
float Smooth_Process(float x)
{
    last_y += 0.1f * (x - last_y);
    return last_y;
}

这个例子适合传感器平滑。α本身不是赫兹，改变采样率之后，滤波器对应的实际频率特性也会改变。常见的 α=1−exp(−2πfc/Fs)是依据模拟时间常数做的映射，不能在任意截止频率下都当成精确的数字−3 dB设计。

2 ➡️从一阶走到二阶

更常用的二阶节写成：

y[n] = b0·x[n] + b1·x[n−1] + b2·x[n−2]
                    − a1·y[n−1] − a2·y[n−2]

这里已经把a0归一化为1。一个二阶节也叫Biquad，多个二阶节串联可以实现更高阶滤波器。不要把高阶多项式直接硬塞进一条很长的差分方程，系数量化和舍入误差会更难控制。

反馈同时带来了稳定性问题。对本节这样的因果有理滤波器，检查极点是否严格落在单位圆内；若反馈符号写反，即使系数原本是正确的，程序也可能迅速发散。

3 🔧设计二阶Butterworth低通

继续使用8 kHz采样、500 Hz与2000 Hz的混合信号，设计1000 Hz截止的二阶Butterworth低通。

from scipy import signal
sos = signal.butter(2, 1000, fs=8000, output="sos")
print(sos)  # 每行 b0, b1, b2, a0, a1, a2

Butterworth的截止频率是幅度下降到 1/√2 的位置，约−3.01 dB。SOS形式方便逐节处理，也适合进一步增加阶数。SciPy Butterworth设计说明

这组参数的CMSIS系数约为：

/* b0, b1, b2, -a1, -a2 */
{0.0976310729f, 0.1952621459f, 0.0976310729f,
 0.9428090416f, -0.3333333333f}

为什么末尾两个数要取反？因为CMSIS DF1采用加反馈项的约定，而上面SciPy的a系数对应减反馈项。必须先除以a0，再转换符号。Arm DF1符号约定

4 💻实验代码

使用FIR实验中的合成输入生成方式。下载系数头文件，并把下面代码放进已经接好CMSIS-DSP的工程。

#include "arm_math.h"
#include "filter_coeffs.h"
#define BLOCK_SIZE 256U

static arm_biquad_casd_df1_inst_f32 iir;
/* 每节保存 x[n-1], x[n-2], y[n-1], y[n-2] */
static float32_t iir_state[4U * IIR_STAGES];

void IIR_Experiment_Init(void)
{
    arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&iir, IIR_STAGES, iir_coeffs, iir_state);
}

void IIR_Experiment_Block(const float32_t *input, float32_t *output)
{
    arm_biquad_cascade_df1_f32(&iir, input, output, BLOCK_SIZE);
}

初始化只执行一次，每来一个连续的256点数据块，调用一次处理函数。input/output各分配256个float，历史状态保存在iir_state中。不要在中断里做整帧滤波或串口打印。

为了理解库函数内部在做什么，可以先独立运行下面的单点实现，再与CMSIS输出逐点比较。它使用本节已经转换成加反馈形式的系数：

static float x1, x2, y1, y2;
float Biquad_Process(float x)
{
    float y = iir_coeffs[0] * x + iir_coeffs[1] * x1
            + iir_coeffs[2] * x2 + iir_coeffs[3] * y1
            + iir_coeffs[4] * y2;
    x2 = x1; x1 = x;
    y2 = y1; y1 = y;
    return y;
}

5 ✅验证结果与稳定性

先测试冲激和阶跃，再测试正弦，最后才接真实ADC。

测试	理论/数值参考
零状态、全零输入	输出保持0
单位冲激	逐渐衰减到接近0，不持续增长
单位阶跃	最终接近1；过渡过程可能有过冲
500 Hz单音	增益约0.974，即约−0.23 dB
1000 Hz单音	增益约0.707，即约−3.01 dB
2000 Hz单音	增益约0.169，即约−15.44 dB

这些是8 kHz采样、上述二阶系数的稳态参考，不是实板测量结果。可以运行验证脚本复算。对混合信号，2000 Hz输入幅度是0.5，所以该分量输出幅度约为0.0845，不能直接和增益0.169混为一谈。

本例极点模均约为0.57735，小于1；因此精确系数下的系统稳定。输入有界而输出持续变大时，应查实现与数据，不应把“无限冲激响应”理解成幅值无限增大。

若输出突然变成很大的数或NaN，按顺序检查：a0归一化、反馈符号、输入是否越界、状态数组是否被其他变量覆盖、是否把定点数据当浮点使用。换成Q15/Q31之后还要重新检查动态范围、缩放和溢出，不能只替换函数名。

6 FIR与IIR怎么选

比较点	本节之前的31抽头FIR	本节二阶IIR
历史信息	过去输入	过去输入和输出
单个输出的乘法数	31次	5次
相位	对称系数提供线性相位	一般非线性相位
稳定性	有限系数的理想FIR为BIBO稳定	需要检查极点、量化与实现
滤波强度	由实际频响决定	由实际频响决定

这两个例子阶数和截止定义不同，不能据此宣布某一种“效果更好”。正确的比较要先统一通带、阻带、允许延迟和算力预算，再设计各自的滤波器。

7 🔌接回课程硬件

真实连续采样使用循环DMA方案，固定采样率，跨块保留状态。单帧停采演示则每帧作为独立实验，重新初始化并观察暂态，不能假装没有停采。

若把结果送回外置MCP4725，要先恢复直流偏置、限制到0～4095，并检查IIC更新带宽。本课程的外置IIC DAC不能按片内DAC的DMA触发例程使用。

最后做一个综合实验：同一段数据分别经过FIR和IIR，再用FFT观察500 Hz和2000 Hz分量，记录幅度、延迟与处理耗时。这样我们就把“采集—搬运—分析—处理”这条线完整连起来了。